1, Sea View, Bridlington Quay
18.Aug. 1881
Lieber Mohr,
Gestern abend erst Deinen Argenteuiler Brief erhalten, der Deine plötzliche Ankunft aufklärt. Ich hoffe, Tussys Unwohlsein ist nicht in Wirklichkeit bedeutend – sie schrieb mir vorgestern noch einen lustigen Brief; jedenfalls höre ich wohl heut abend oder morgen früh Näheres, ebenso, ob Deine Frau bis Boulogne oder Cal[ais] mit Dir gereist und erst da zurückgeblieben.
Gestern also endlich hab' ich mir die Courage gefaßt, auch ohne Hülfsbücher Deine mathematischen Mskr. durchzustudieren, und war froh zu sehn, daß ich die Bücher nicht nötig hatte. Ich mache Dir mein Kompliment dazu. Die Sache ist so sonnenklar, daß man sich wirklich nicht genug wundern kann, wie die Mathematiker so hartnäckig darauf bestehn, sie zu mystifizieren. Aber das kommt von der vereinseitigten Denkweise der Herren. dy/dx resolut und ohne Umschweife = 0/0 zu setzen, will ihnen nicht in den Schädel. Und doch ist es klar, daß dy/dx erst dann der reine Ausdruck eines an x und y vorgegangnen Prozesses sein kann, wenn von den Quanta x und y auch die letzte Spur verschwunden, nur der Ausdruck des an ihnen vorgehenden Veränderungsprozesses ohne alle Quantität geblieben ist. eine ganz besondre Schönheit daran: erst wenn dy/dx = 0/0, erst dann ist die Operation mathematisch absolut richtig.
Der alte Hegel hatte also ganz richtig geraten, wenn er sagte, die Differenzierung habe zur Grundbedingung, daß die beiden Variabeln auf verschiednen Potenzen und mindestens eine auf mindestens der 2. oder 1/2. Potenz stehn müsse. Jetzt wissen wir auch weshalb.
Wenn wir sagen, in y = f(x) sind x und y Variable, so ist das, solange wir dabei stehnbleiben, eine Behauptung ohne alle weitere Folgen, und x und y sind immer noch, pro tempore1, faktisch Konstante. Erst wenn sie sich wirklich, d. h. innerhalb der Funktion, verändern, werden sie in der Tat Variable, und erst dann kann das in der ursprünglichen Gleichung noch verborgne Verhältnis nicht der beiden Größen als solcher, sondern ihrer Veränderlichkeit an den Tag treten. Die erste Abgeleitete Δy/Δx zeigt dies Verhältnis, wie es im Verlauf der wirklichen Veränderung, d. h. in jeder gegebnen Veränderung, stattfindet; die schließliche Abgeleitete = dy/dx zeigt es in seiner Allgemeinheit, rein, und daher können wir von dy/dx zu jedem beliebigen Δy/Δx kommen, während dies selbst immer nur den einzelnen Fall deckt. Um aber vom einzelnen Fall zum allgemeinen Verhältnis zu kommen, muß der einzelne Fall als solcher aufgehoben werden. Nachdem also die Funktion den Prozeß von x zu x' durchgemacht hat mit allen seinen Folgen, kann man ruhig x' wieder zu x werden lassen; es ist nicht das alte, nur dem Namen nach variable x mehr, es hat wirkliche Veränderung durchgemacht, und das Resultat der Veränderung bleibt, auch wenn wir sie selbst wieder aufheben.
Endlich wird hier einmal klar, was viele Mathematiker längst behauptet, ohne rationelle Gründe dafür angeben zu können, daß der Differentialquotient das Ursprüngliche, die Differentiale dx und dy abgeleitet sind: die Ableitung der Formel selbst fordert es, daß die beiden sog. irrationalen Faktoren ursprünglich die eine Seite der Gleichung ausmachen, und erst wenn man die Gleichung auf diese ihre erste Form dy/dx = f (x) zurückgeführt, kann man was damit machen, ist man die Irrat[ionalen] los und setzt ihren rationellen Ausdruck dafür.
Die Sache hat mich so erfaßt, daß sie mir nicht nur den ganzen Tag im Kopf herumgeht, sondern ich auch vorige Nacht im Traum einem Kerl meine Hemdsknöpfe zum Differenzieren gab und dieser mir damit durchbrannte.
Dein
F. E.