[London, Ende 1865–Anfang 1866]
Du hast mich während meines letzten Aufenthalts in Manchester einmal nach Erklärung des Differentialkalküls gefragt. Im folgenden Beispiel wird Dir die Sache ganz klarwerden. Der ganze Differentialkalkül entsprang zunächst aus der Aufgabe, Tangenten durch einen beliebigen Punkt einer beliebigen Kurve zu ziehn. Daran will ich Dir daher die Sache exemplifizieren.
Nimm an, die Linie nAo sei eine beliebige Kurve, deren Natur (ob Parabolé, Ellipse usw.) wir nicht kennen und wo im Punkt m eine Tangente gezogen werden soll. Ax ist die Achse. Wir fällen das Perpendikel mP (die Ordinate) auf die Abszisse Ax. Nimm nun an, der Punkt n sei der unendlich nächste Punkt der Kurve neben m. Fälle ich ein Perpendikel np auf die Achse, so muß p der unendlich nächste Punkt zu P sein und np die unendlich nächste Parallellinie zu mP. Fälle nun ein unendlich kleines Perpendikel mR auf np. Nimmst Du nun die Abszisse AP ... x und die Ordinate mP ... y, so ist np = mP (oder Rp) vermehrt um ein unendlich kleines Inkrement [nR], oder [nR] = dy (Differential von y) und mR (= Pp) = dx. Da der Teil der Tangente mn unendlich klein ist, fällt er zusammen mit dem entsprechenden Teil der Kurve selbst. Ich kann also mnR als ein Δ (Dreieck) betrachten, und die Δ mnR und mTP sind ähnliche Dreiecke. Daher: dy (= nR) : dx (= mR) = y (mP) : PT (welches die Subtangente der Tangente Tm ist). Also ist die Subtangente PT = y dx/dy. Dies ist nun die allgemeine Differentialgleichung für alle Tangen[ten]punkte aller Kurven. Soll ich nun mit dieser Gleichung weiteroperieren und dadurch die Größe der Subtangente PT bestimmen (habe ich diese, so brauche ich bloß die Punkte T und m durch eine grade Linie zu verbinden, um die Tangente zu haben), so muß ich wissen, welches der spezifische Charakter der Kurve [ist]. Ihrem Charakter gemäß (als Parabolé, Ellipse, Zissoide usw.) hat sie eine bestimmte allgemeine Gleichung für ihre Ordinate und Abszisse von jedem Punkt, die man aus der algebraischen Geometrie kennt. Ist also z.B. die Kurve mAo eine Parabolé, so weiß ich, daß y² (y = die Ordinate von jedem beliebigen Punkt) = ax, wo a der Parameter der Parabolé und x die der Ordinate y entsprechende Abszisse.
Setze ich diesen Wert von y in die Gleichung PT = y dx/dy, so muß ich also zunächst suchen dy, d.h. den Differential von y (den Ausdruck, den y in seinem unendlich kleinen Wachstum annimmt) zu finden. Ist y² = ax, so weiß ich aus dem Differentialkalkül, daß d(y²) = d(ax) (ich muß natürlich beide Seiten der Gleichung differenzieren) ergibt 2y dy = a dx (d heißt immer Differential). Also dx = 2y dy / a. Setze ich diesen Wert von dx in die Formel PT = y dx/dy, so erhalte ich PT = (2y² dy) / (a dy) = 2y² / a = (da y² = ax) 2ax / a = 2x. Oder die Subtangente jedes Punktes m in der Parabolé = der doppelten Abszisse vom selben Punkt. Die Differentialgrößen verschwinden in der Operation.